Najväčší počet na svete

Verí sa, že koncept čísel prvýkrát vznikol, keď pravekí ľudia začali prstami niečo počítať. Odvtedy prešlo ľudstvo dlhú cestu. Na spočítanie najväčších čísel teraz používame kalkulačky a počítače. A dokonca sa objavili mená aj pre čísla, ktoré sú také veľké, že si ich možno len ťažko predstaviť.

Nekonečno spočítateľných čísel

Zdalo by sa, že odpoveď na otázku, aký je najväčší počet v matematike, je veľmi jednoduchá. Nekonečno, že? Ale to nie je úplne správne. Infinity koniec koncov nie je vôbec číslo, ale pojem. Nápad.

Nekonečno (infinitum) je pojem, ktorý v preklade z latinčiny znamená „bez hraníc“. Definícia nekonečna v matematike hovorí, že bez ohľadu na to, aké veľké je číslo, vždy k nemu môžete pridať 1 a bude sa zväčšovať.

Prísne povedané preto neexistuje nič také ako najväčší počet na svete. Môžete pomenovať iba najväčšie číslo s konkrétnym menom.

Niektoré zo známejších mien pre veľké počty sú:

Ako sa volá najväčšie prvočíslo

Prvočíslo je číslo, ktoré je deliteľné iba sebou a jedným. Na konci roku 2018 predstavil Američan Patrick Laroche vedeckému svetu najväčšie prvočíslo.

• Jeho dĺžka je 24 862 048 znakov. Pre porovnanie: v epochálnom diele L.N. Tolstojova „Vojna a mier“ má asi 6 - 7 miliónov znakov, ak zahrniete interpunkciu a medzery.
• Toto číslo možno zapísať takto: 2^82589933-1
• A znie takto: dva na výkon 82589933 mínus jeden.
• Existuje celý online projekt GIMPS, ktorého cieľom je presne nájsť najväčšie prvočísla. Zúčastňujú sa ho matematici z rôznych krajín. Preto sa často objavujú noví šampióni. Vedci pracujú, ako sa hovorí, nie pre strach, ale pre peniaze. Ktokoľvek otvorí ďalší najväčší Mersenne prime, dostane 3 000 dolárov.

Aký je najväčší počet na svete

V roku 1980 Guinnessova kniha rekordov obsahovala Grahamovo číslo (alias G64 alebo G), pomenované po americkom matematikovi Ronaldovi Grahamovi. Je to najväčší počet, aký sa kedy použil v dôležitom matematickom dôkaze. Hovoríme o teórii Franka Ramseyho.

Stručne k tejto teórii: predstavte si N-dimenzionálnu kocku, jej vrcholy sú náhodne spojené červenými alebo modrými úsečkami. A našou úlohou je pochopiť, do akej hodnoty N je možné (ak sú okraje kocky natreté rôznymi spôsobmi), vyhnúť sa situácii, keď bude jedna rovina v kocke natretá jednou farbou. To znamená, že by sme nemali dostať jednofarebnú „obálku“.

Matematici maľovali kocku týmto spôsobom a ukázalo sa, že až do šesťdimenzionálnej kocky môžete vymyslieť a vytvoriť čiary rovnakej farby spájajúce štyri vrcholy, aby neležali v rovnakej rovine. Ale s tou sedemrozmernou, ako zistili Graham a Rothschild, taký trik už nie je možný. A s osemrozmerným. A ... „a tak ďalej“, ktoré však nie je nekonečné, ale končí sa fantasticky gigantickým číslom. Takto volajú Grahamovo číslo. Mimochodom, riešenie od Grahama a Rothschilda je už zastarané. Matematici zistili, že 6-7-8-9-10-11-12-rozmerné kocky je možné stále maľovať bez obálok. Ale niekde medzi 13 a Grahamovým číslom je zaručene nejaké číslo, nad ktorým budú „obálky“ v každom prípade.

Grahamovo číslo získalo svetové uznanie v roku 1977, keď o tom napísal renomovaný popularizátor vedy Martin Gardner v časopise Scientific American.

A hoci od tej doby existujú aj ďalší kandidáti na titul najväčšieho počtu v matematike, Grahamov „brainchild“ je najobľúbenejší a najznámejší. A ak ste už počuli o „uhoľnej rodine“:

• googol - 10¹⁰⁰;
  Alebo: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• googolplex - 10^googol,

potom by ste mali vedieť, že tieto čísla v matematike iba „miesia“ a Grahamovo číslo je nemysliteľné násobne väčšie množstvo ako oni. A ešte viac ako číslo Skuse medzi 10¹⁹ a 1,3971672 10³¹⁶ a približne rovnako e^{727,951336108}.

Je zvláštne, že americký matematik Edward Kazner chcel vynálezom googolu ukázať študentom rozdiel medzi neuveriteľne veľkým počtom a nekonečnom. Potom môže Grahamovo číslo iba „vyraziť dych“.

Je možné si predstaviť a zapísať číslo nad rámec pochopenia

Matematici vám nebudú vedieť povedať presný počet číslic v Grahamovom čísle, nehovoriac o ňom. Je známych iba posledných 50 číslic najväčšieho počtu na svete - to je ... 03222348723967018485186439059104575627262464195387.

Čísla, s ktorými G64 začína, sú však neznáme a je nepravdepodobné, že by niekedy boli.

Porovnajme tri príšery: googol, googolplex a Grahamovo číslo.

• Googol je počet zrniek piesku, ktoré sa zmestia do vesmíru, vynásobený 10 miliardami.Predstavte si teda vesmír naplnený malými zrnkami piesku - desiatky miliárd svetelných rokov nad Zemou, pod ňou, pred ňou, za ňou - nekonečný piesok.

Teraz si predstavte, že v určitom okamihu vezmete jedno zrnko piesku, aby ste ho preskúmali pod silným mikroskopom. A vidíte, že to v skutočnosti nie je jediné zrno, ale 10 miliárd mikroskopických zŕn a spolu majú veľkosť zrnka piesku. Keby to tak bolo pre každé jedno zrnko piesku v tomto hypotetickom vesmíre, potom by súčet týchto mikroskopických zrniek bol googol.

• Na kvantifikáciu googolplexu uviedol astronóm a astrofyzik Carl Sagan príklad plnenia celého objemu pozorovateľného vesmíru jemnými prachovými časticami s veľkosťou približne 1,5 mikrometra. Na základe toho bude celkový počet rôznych kombinácií, v ktorých môžu byť tieto častice umiestnené, približne rovný jednému googolplexu.
• Teraz si predstavme, že googolplex nie je ani zrnko piesku, ale maličký bod, na ktorý sa dá pozerať iba prostredníctvom najsilnejšieho mikroskopu. A celý náš vesmír je naplnený takými malými bodkami. Ani toto sa teda nedá porovnať s Grahamovým číslom. Čo však v prípade, že na jeho zaznamenanie chceme využiť celý priestor pozorovateľného vesmíru (predpokladajme, že zaznamenanie každej číslice zaberie minimálne Planckov objem)? Bohužiaľ, toto nebude fungovať pre nás! Vždy sa však dá ísť inou cestou.

Ako písať G64 pomocou Knuthovej metódy

V roku 1976 americký vedec Donald Knuth navrhol koncept superdegradov alebo Knuthovu notáciu. Toto je metóda, ktorá umožňuje písať veľmi veľké čísla pomocou šípok smerujúcich nahor. Umocnenie je označené jednou šípkou nahor: ↑.

Takto vyzerá tento zápis: a ↑ b = ab = a × a × a × ... atď. B krát.

• Napríklad 3 ↑ 3 = 3³.
• Googol sa píše ako 10 ↑ 10 ↑ 2.
• A googolplex - 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 2

Dôležitou vlastnosťou šípok nahor je, že rastú veľmi rýchlo. Expozícia rastie oveľa rýchlejšie ako násobenie. 2 × 10 je iba 20, ale 2 ↑ 10 = 1024. Rovnakým spôsobom rastie každá nová úroveň šípov oveľa rýchlejšie ako predchádzajúca úroveň.

Ak si v duchu predstavíte silovú vežu trojíc 3 ↑↑↑ 4, získate štruktúru s veľkosťou od Zeme po Mars. Ale nedosiahli sme ani „spodnú priečku“, ktorá nás vedie k Grahamovmu číslu.

Grahamovo číslo môžeme opísať obrovskou sadou týchto šípok nahor.

Je najľahšie si to predstaviť ako iteračný proces. Začíname v dolnej časti písmenom g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3 a potom vytvoríme druhý riadok (nazvime to g 2) so šípkami g 1 medzi trojčatami.

Potom g 3 sú dve trojice, oddelené šípkami g 2 hore a tak ďalej, až kým g 64 so šípkami g 63 medzi trojicami nie je Grahamovo číslo.

Ak si namiesto nesmrteľnosti zvolíte životnosť rovnajúcu sa Grahamovmu číslu, bude výsledok takmer rovnaký. Aj keby sme predpokladali, že podmienky vo vesmíre, v slnečnej sústave a na Zemi zostanú navždy nezmenené, ľudský mozog by nemohol vydržať také dlhé časové obdobie bez škodlivých zmien.